请问怎样利用公垂线求空间内两直线间的距离
足智多谋谋事在人
设m、n是两条异面直线，过m上一点P作直线a∥n，则m和a确定一个平面α。过P作直线b⊥α，则b⊥m，b⊥a，且b和m确定一个平面β。n和β相交，设这个交点为Q。在平面β内，经过Q点作直线l⊥m，直线l就是m、n是两条异面直线的公垂线。
例:L1:(x-1)/2=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-1).L2:(x-1)/1=(y-5)/(-3)=z/2
解:设二直线的公垂线与L1、L2交于A(2m+1,-m+1,-m+1)、B(n+1,-3n+5,2n)向量BA=(2m-n,-m+3n-4,-m-2n+1)是公垂线的一个方向向量。L1的方向向量是(2,-1,-1),L2的方向向量是(1,-3,2)有2(2m-n)-(-m+3n-4)-(-m-2n+1)=0即 2m-n+1=0 (1)(2m-n)-3(-m+3n-4)+2(-m-2n+1)=0即 3m-14n+14=0 (2)由(1)(2) 解得 m=0 且 n=1A(1,1,1),B(2,2,2),向量AB=(1,1,1)所以 直线AB的公垂线方程是(x-1)/1=(y-1)/1=(z-1)/1
即x=y=z
拓展内容
公垂线
一条直线同时垂直于两条或两条以上线段或直线，这条直线就是被垂直的线段或直线的公垂线。然而，如同两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，这才被叫做公垂线段。
概念
例如线段a垂直于线段b，同时也垂直于线c，甚至更多的d、e、f……那么线段a就是线b、c的或者是d、e、f的公垂线。
引申含义
两条直线不在公垂线上经过同一点，这两条直线必不交叉。
两条直线经过公垂线上的同一点，这两条直线所在的平面，必定垂直于公垂线，并且这个平面必垂直于他们和公垂线组成的平面。
公垂线可以和被垂直的线段或者直线在一个平面内，也可以不在一个平面内。公垂线可以和被垂直对象交叉，也可以不交叉。
异面直线的公垂线
同时和两条异面直线垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线。两个交点之间的线段长度，叫做异面直线的距离。
资料来源：百度百科-公垂线
桓备江：：这个不是有公式你嘛，是直线之间任意两点的向量乘上两个直线方向向量的向量积(注意向量积不是数量积)然后再除去向量积的模
桓备江：：1. 确定两条直线的方向向量：假设两条直线分别为L1和L2。为了求解公垂线，我们首先需要找到它们的方向向量。如果直线已经表示为参数方程的形式，那么直线的参数方程可以提供直线的方向向量。如果直线表示为一般方程的形式（即Ax + By + Cz + D = 0），我们可以从一般方程中提取出方向向量。对于一般方程...
桓备江：：找一条线，使它垂直于另两条线，该线就是它们的公垂线，也就是它们之间的距离
桓备江：：首先，公垂线的定义相当直接：当一条直线同时垂直于两条或更多的线段或直线时，这条直线被称为它们的公垂线。它就像一把尺子，准确地测量出这些几何元素之间的垂直距离。共面直线的公垂线，就好比是二维空间中的一个特殊角色。它实际上就是那个共享平面的法向量，就像平面的“正北”方向，为理解这个平面...
桓备江：：作图:找和这两条线平行的平面,作这个平面的垂线段,把垂线段平移到和两个原两直线都相交.代数:这两条线的方向向量叉乘(高中数学或大学物理,数学),叉乘所得就是所求线的方向向量,平移到和两个原两直线都相交即可.
桓备江：：(2)求两条异面直线间距离:一般先找出其公垂线,然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下,可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。 (3)求点到平面的距离:一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线,进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离...
桓备江：：就是它们【公垂线】两交点间的线段长。空间图形，用平面图形来示意，画了也表示不明白！如果在解析几何里计算（其实有固定公式），首先找出公垂线方程，然后求出两个交点，最后用两点间的距离公式计算两直线的距离。
桓备江：：即M（t,s）=∑（ai-bi+t*t1i-s*t2i）²达极小值，即M在所求点（t,s）上对t,s的偏导都为0 即2*∑[t1i*(ai-bi+t*t1i-s*t2i）]=0,2*∑[t2i*(ai-bi+t*t1i-s*t2i）]=0 解出t,s即可 然后直接把这个表达式交给C~补充：空间直线间最短距离就是在公垂线上取得的。换...
桓备江：：简单计算一下，答案如图所示
桓备江：：关键还是要靠你的空间想象，在头脑中构建、还原出线与面隐藏的部分，特别要注意线与面的无限延伸性。具体来说，求异面线的角度就是借助它们的公垂线来作为参照，据此把异面线挪到一个平面，再计算角度。实在想象不出的话，你可以用橡皮来制作一个长方体，选定其中的一条棱作为公垂线，再在与之垂直的...