如图,在三角形ABC中,AB=AC,角A=50°,点D为三角形ABC内的一点,角DBC=角DCA,求角BDC的度数
2024-09-20来自：本站整理
如图,在⊿ABC中,AB=AC,角A=50°,点D为三角形ABC内的一点,∠DBC=∠DCA,求∠BDC的度数。
延长BD交AC于E，
角BDC=角ACD+角BEC
角BEC=角ABD+角A
角BDC=角ACD+角ABD+角A
又角ACD=角BDC
所以角BDC=角DBC+角ABD+角A=角ABC+角A=65°+50°=115°
AB=AC,三角形ABC为等腰三角形，则两个底角相等。
角DBC=角DCA，所以可得角DCB=角DBA。所以角DCB+角DBC=角DBC+角DBA=65。所以角BDC=115
设∠A=ABD=x,∠C=∠BDC=y,∠CBD=Z,
则有X+Z=Y;2Y+Z=180;2X+∠BDA=180
又∠BDA=Y+Z(三角形外角)
联立解得：X=Z=36°，Y=X+Z=72°
则∠DBC=Z=36°，2∠A=∠ABC
根据题意△ABC是等腰三角形
∠B=∠C=(180°-50°)/2=65°
延长AD交BC于E
∠BDE=∠DBA+∠DAB=∠B-∠DBC+∠DAB=65°-∠DCA+50°-∠DAC=115°-∠DCA-∠DAC
∠CDE=∠DCA+∠DAC
则∠BDC=∠BDE+∠CDE=115°-∠DCA-∠DAC+∠DCA+∠DAC=115°
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林饺义：：所以△ABC∽△BDC 所以CD\/BC=BC\/AC 即 CD=BC²\/AC=（根号5-1）²\/2=3-根号5 ，AD=根号5-1 AD\/AC=（根号5-1）\/2 ，即D为线段AC的黄金分割点
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林饺义：：1、∠B′CA=∠A=38° ∵CB′∥AB ∴∠B′CA=∠A=38° 2、∠B′CA+∠A=180° ∠B′CA=142° ∵CB′∥AB ∴∠B′CA+∠A=180°
此BD,DC关系都不知，明显是不能解答呀
由于AB=AC，得到ABC=ACB,而DBC=DCA，ABC-DBC=ACB-DCA 得到DBA=DCB
因此DBC+DCB=DBA+DCA，而DBC+DCB+DBA+DCA=ABC+ACB
=2ABC
而BAC=50
ABC+ACB+BAC=180
2ABC+BAC=180
ABC=(180-50)/2=65
因此DBC+DCB+DBA+DCA=130
DBC+DCB=130/2=65
BDC=180-（DBC+DCB）=180-65=115
延长BD交AC于E，
角BDC=角ACD+角BEC
角BEC=角ABD+角A
角BDC=角ACD+角ABD+角A
又角ACD=角BDC
所以角BDC=角DBC+角ABD+角A=角ABC+角A=65°+50°=115°
AB=AC,三角形ABC为等腰三角形，则两个底角相等。
角DBC=角DCA，所以可得角DCB=角DBA。所以角DCB+角DBC=角DBC+角DBA=65。所以角BDC=115
设∠A=ABD=x,∠C=∠BDC=y,∠CBD=Z,
则有X+Z=Y;2Y+Z=180;2X+∠BDA=180
又∠BDA=Y+Z(三角形外角)
联立解得：X=Z=36°，Y=X+Z=72°
则∠DBC=Z=36°，2∠A=∠ABC
根据题意△ABC是等腰三角形
∠B=∠C=(180°-50°)/2=65°
延长AD交BC于E
∠BDE=∠DBA+∠DAB=∠B-∠DBC+∠DAB=65°-∠DCA+50°-∠DAC=115°-∠DCA-∠DAC
∠CDE=∠DCA+∠DAC
则∠BDC=∠BDE+∠CDE=115°-∠DCA-∠DAC+∠DCA+∠DAC=115°
林饺义：：b+c=2(sinB+sinC)=4sin((B+C)\/2)cos((B-C)\/2)=4sin60°cos((B-C)\/2)可知，当B-C=0，也就是B=C的时候，b+c有极大值。这时，B=C=60°
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